
5.5. ESTREMI VINCOLATI 173
5.5.3 Estremi vincolati ad una curva dello spazio
Sia F(r) = F(x, y, z) una funzione di classe C1in una regione Ω ⊆R3e sia γuna curva
in Ω. Vogliamo dare una condizione necessaria che deve valere se un punto r0`e punto
di estremo di F(r) vincolato alla curva γ. Se la curva γ`e data in forma parametrica il
probema si riduce immediatamente alla ricerca degli estremi di una funzione di una sola
variabile. Quindi consideriamo il caso in cui γ`e data implicitamente, come intersezione di
due superfici:
γ:g1(x, y, z) = c , g2(x, y, z) = d .
Sia r0= (x0, y0, z0) un punto di γ, che `e massimo oppure minimo di F(r) vincolato a γ.
Supponiamo che in r0valga la condizione del teorema della funzione implicita. Privilegiando,
per esempio, la variabile x, supponiamo che si abbia
det g1,y(x0, y0, z0)g1,z(x0, y0, z0)
g2,y(x0, y0, z0)g2,z(x0, y0, z0)6= 0 .(5.14)
Si ricordi che sotto questa condizione la curva γsi rappresenta, in un intorno di (x0, y0, z0),
in forma cartesiana, come
y=y(x), z =z(x)
e
y0=y(x0), z0=z(x0).
Dunque, la funzione della sola variabile x
F(x, y(x), z(x))
ha un punto di estremo in x0e quindi la sua derivata prima `e ivi nulla:
0 = Fx(x0, y0, z0) + Fy(x0, y0, z0)y′(x0) + Fz(x0, y0, z0)z′(x0).
Usando questa condizione, si potrebbe provare il teorema seguente:
Teorema 177 Sia r0= (x0, y0, z0)punto di estremo della funzione F(x, y, z)vincolato alla
curva
γ:g1(x, y, z) = c , g2(x, y, z) = d .
Valga inoltre la condizione (5.14) . In tal caso esistono due numeri λ1eλ2tali che il punto
r0= (x0, y0, z0)`e punto estremale libero della funzione
F(x, y, z) + λ1g1(x, y, z) + λ2g2(x, y, z).
Ossia, nel punto (x0, y0, z0)valgono contemporaneamente le condizioni seguenti:
g1(x0, y0, z0) = c ,
g2(x0, y0, z0) = d ,
Fx(x0, y0, z0) + λ1g1,x(x0, y0, z0) + λ2g2,x(x0, y0, z0) = 0 ,
Fy(x0, y0, z0) + λ1g1,y(x0, y0, z0) + λ2g2,y(x0, y0, z0) = 0 ,
Fz(x0, y0, z0) + λ1g1,z(x0, y0, z0) + λ2g2,z(x0, y0, z0) = 0 .
La coppia (λ1, λ2) si chiama ancora moltiplicatore di Lagrange (vettoriale) ed i due numeri
si chiamano moltiplicatori di Lagrange .